Les fractions simples et leurs inverses sont des concepts fondamentaux en mathématiques. Un inverse se forme en intervertissant le numérateur et le dénominateur. Ci-dessous, vous trouverez des explications claires et des applications pratiques.
Fractions Simples - Bases et Définition
Une fraction simple se compose de deux nombres séparés par une barre de fraction :
- Numérateur (nombre du haut) - indique combien de parts sont prises
- Dénominateur (nombre du bas) - montre en combien de parts égales le tout est divisé
Par exemple, la fraction \( \large\frac{3}{4} \) signifie que le tout est divisé en 4 parts égales, et que l'on prend 3 parts.
Exemples de fractions simples :
Les fractions simples sont utilisées pour représenter des parties d'un tout en mathématiques, en cuisine, en construction et dans de nombreux autres domaines.
Utilisations des fractions simples :
En cuisine
\( \large\frac{3}{4} \) tasse de farine, \( \large\frac{1}{2} \) cuillère à café de sel
En construction
Une planche d'épaisseur \( \large\frac{3}{4} \) pouce
En musique
Des notes comme \( \large\frac{1}{4} \), \( \large\frac{1}{8} \) pour déterminer la durée
Fractions Inverses - Ce qu'elles Sont et Comment les Former
Définition :
Une fraction inverse est une fraction créée en inversant le numérateur et le dénominateur de la fraction d'origine.
Exemple : L'inverse de \( \large \frac{3}{4} \) est \( \large \frac{4}{3} \).
Exemple 1 :
L'inverse de \( \large \frac{2}{5} \) est \( \large \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \).
Exemple 2 :
L'inverse de \( \large \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \) est \( \large \frac{3}{7} \).
Exemple 3 :
L'inverse de \( \large \frac{1}{4} \) est \( \large \frac{4}{1} = 4 \) (un nombre entier).
Important !
L'inverse d'une fraction \( \large \frac{a}{b} \) existe seulement si \( \large a \neq 0 \). On ne peut pas former l'inverse de \( \large \frac{0}{b} \), car cela donnerait une division par zéro.
Propriété Intéressante des Inverses
Le produit d'une fraction et de son inverse est toujours égal à 1 :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Cette propriété est cruciale en algèbre et dans la résolution d'équations, car elle permet d'éliminer une fraction en multipliant les deux côtés de l'équation par son inverse.
Le Rôle des Inverses en Mathématiques
Division de Fractions
L'utilisation principale des inverses est dans la division des fractions.
Diviser par une fraction = Multiplier par son inverse
Exemple : \( \large \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)
Résolution d'Équations
Les inverses simplifient les équations impliquant des fractions.
Pour éliminer une fraction, multipliez les deux côtés de l'équation par son inverse.
Exemple :
Applications Pratiques des Inverses
En cuisine
Si une recette est pour 4 personnes et que vous cuisinez pour 6, multipliez les ingrédients par \( \large\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) (ou 1,5).
En finance
Si le taux de change EUR/USD est de 1,10 USD par EUR, le taux inverse (USD/EUR) est \( \large\frac{1}{1,10} \) EUR par USD.
En physique
La résistance électrique (R) est l'inverse de la conductance (G) : \( \large R = \frac{1}{G} \).
Exercices - Testez-vous !
Exercice 1 : Trouvez les inverses
- \( \large \frac{3}{5} \)
- \( \large \frac{7}{2} \)
- \( \large \frac{4}{9} \)
Exercice 2 : Divisez des fractions en utilisant les inverses
- \( \large \frac{1}{3} \div \frac{2}{5} \)
- \( \large \frac{5}{6} \div \frac{10}{3} \)
- \( \large \frac{4}{7} \div \frac{2}{7} \)
Exercice 3 : Appliquez les inverses dans les équations
- \( \large \frac{3}{4}x = 15 \)
- \( \large \frac{2}{5}y = 8 \)
- \( \large \frac{5}{9}z = 20 \)
Résumé
- Un inverse se forme en intervertissant le numérateur et le dénominateur.
- Le produit d'une fraction et de son inverse est toujours égal à 1.
- Diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse.
- Les inverses sont utilisés en mathématiques, en finance, en physique et dans la vie quotidienne.
- Une fraction égale à 0 n'a pas d'inverse.
Les inverses sont essentiels dans de nombreuses opérations mathématiques, particulièrement la division !